单摆运动：一根细线吊起的简谐运动

一、什么是单摆？

把一个小球系在一条不可伸长、质量可以忽略的细线上，上端固定，就得到一个单摆（simple pendulum）。 把它拉开一个小角度后松手，重力与细线拉力的合力会把小球拉回最低点—— 这个始终指向平衡位置的力叫回复力。摆球就在平衡位置两侧往复运动，与弹簧振子一样，是一种简谐运动。

不过,"简谐"是有条件的。回复力严格等于 $-mg\sin\theta$，并不与角度 $\theta$ 成正比；只有当 摆角 $\theta$ 很小（小于约 10°）时，才有 $\sin\theta \approx \theta$（弧度制），回复力近似等于 $-mg\theta$， 正比于角度，摆动才是标准的简谐运动。这就是小角度近似。

二、看它摆起来（动画）

动画按真实物理时间播放：摆角随时间按 $\theta(t) = \theta_0\cos\!\left(\sqrt{\dfrac{g}{L}}\,t\right)$ 变化（θ₀ 取 10°）， 所以 1 m 摆长的摆来回一次真的约需 2 秒。拖动滑杆改变摆长，观察摆变长、摆动变慢—— 摆长越长，周期越大。

三、周期公式

小角度近似下，单摆周期 $T$ 只由两个量决定：摆长 $L$ 与当地 重力加速度 $g$。读这条公式有三个要点：

• 摆长越长，周期越大——$T$ 与 $\sqrt{L}$ 成正比：摆长变为 4 倍，周期才变为 2 倍；
• 与摆球质量无关——轻重小球同摆长时周期相同（伽利略的著名发现：相传他观察到教堂吊灯的摆动，发现了摆的等时性）；
• 与振幅近似无关——小角度下摆得更远并不明显更慢（这正是"小角度近似"的另一面）。

四、周期速查表（g = 9.8 m/s²）

g 在地球表面各处略有差异（约 9.78 – 9.83 m/s²，标准参考值为 9.80665 m/s²）， 严格计算时请代入当地值——这本身就是一条测量思路：用已知摆长测出 $T$，就能"称"出当地的 $g$。